Qué es un sistema de ecuaciones 2x2
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene esta forma:
a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂
Resolverlo significa encontrar el par de valores (x, y) que cumple las dos ecuaciones al mismo tiempo. Geométricamente, cada ecuación es una recta en el plano, y la solución es el punto donde se cruzan. Por eso pueden pasar tres cosas: que se corten en un punto (una solución única), que sean paralelas (sin solución) o que sean exactamente la misma recta (infinitas soluciones).
Estos sistemas aparecen en problemas de mezclas, precios, edades, velocidades y en casi cualquier situación con dos cantidades desconocidas relacionadas por dos condiciones. Esta calculadora los resuelve dentro de tu navegador, sin enviar datos, y te muestra el determinante y el paso a paso.
Cómo usar la calculadora
- Escribe los tres coeficientes de la primera ecuación:
a₁,b₁yc₁. - Escribe los tres de la segunda ecuación:
a₂,b₂yc₂. - Lee al instante la solución, el determinante y el desarrollo. No hay que pulsar “calcular”.
- Pulsa Copiar resultado para llevarte el resumen a tus apuntes. Una casilla vacía se toma como 0.
La regla de Cramer
El método más directo para un 2x2 es la regla de Cramer. Primero se calcula el determinante del sistema:
det = a₁·b₂ − a₂·b₁
Si det es distinto de cero, hay una única solución:
x = (c₁·b₂ − c₂·b₁) / det y = (a₁·c₂ − a₂·c₁) / det
Si det es cero, las rectas son paralelas y no hay solución única. Para distinguir los dos casos posibles se miran los numeradores: si ambos también valen cero, las ecuaciones describen la misma recta y hay infinitas soluciones; si alguno es distinto de cero, las rectas son paralelas distintas y el sistema no tiene solución.
| Determinante | Interpretación | Ejemplo |
|---|---|---|
det distinto de 0 | Solución única | 2x + 3y = 13 ; x − y = −1 |
det = 0, rectas distintas | Sin solución | x + y = 2 ; 2x + 2y = 5 |
det = 0, misma recta | Infinitas soluciones | x + y = 2 ; 2x + 2y = 4 |
Ejemplo resuelto
Resolvamos el sistema 2x + 3y = 13 y x − y = −1. Aquí a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = 13, a₂ = 1, b₂ = −1, c₂ = −1.
- Determinante: det = a₁·b₂ − a₂·b₁ = 2·(−1) − 1·3 = −2 − 3 = −5.
- Como
detno es cero, hay solución única. - Numerador de x: c₁·b₂ − c₂·b₁ = 13·(−1) − (−1)·3 = −13 + 3 = −10, así que x = −10 / −5 = 2.
- Numerador de y: a₁·c₂ − a₂·c₁ = 2·(−1) − 1·13 = −2 − 13 = −15, así que y = −15 / −5 = 3.
Comprobación: en la primera ecuación, 2·2 + 3·3 = 4 + 9 = 13 ✓; en la segunda, 2 − 3 = −1 ✓. La solución (2, 3) cumple ambas.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que el determinante sea cero?
Que las dos rectas tienen la misma pendiente: son paralelas. Cuando eso ocurre no hay un único punto de corte. Si además coinciden por completo, comparten todos sus puntos (infinitas soluciones); si están separadas, nunca se tocan (sin solución).
¿Cómo distingo “sin solución” de “infinitas soluciones”?
Con los numeradores de Cramer. Si det = 0 y tanto c₁·b₂ − c₂·b₁ como a₁·c₂ − a₂·c₁ valen cero, las ecuaciones son proporcionales entre sí: la misma recta, infinitas soluciones. Si alguno no es cero, son paralelas distintas y el sistema es incompatible.
¿Sirve para coeficientes negativos o decimales?
Sí. Puedes escribir números negativos y decimales en cualquier casilla. La calculadora redondea la salida a 4 decimales para que sea legible, pero calcula con la precisión completa de tu dispositivo.
¿Es lo mismo que el método de sustitución o igualación?
El resultado es idéntico; solo cambia el camino. Sustitución, igualación, reducción y Cramer llegan a la misma solución. Cramer es especialmente cómodo para el 2x2 porque se reduce a tres pequeños determinantes y evita despejar variables a mano.
¿Puedo resolver sistemas de tres ecuaciones aquí?
No, esta herramienta está pensada para el caso 2x2, que es el más frecuente en secundaria y bachillerato. Para sistemas más grandes se usan métodos como Gauss o Cramer con matrices de mayor tamaño.