Qué es una ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática, o de segundo grado, tiene la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son números conocidos y a no puede ser cero. Si a fuera cero, el término x² desaparecería y quedaría una simple ecuación lineal. Resolverla significa encontrar los valores de x que hacen que la igualdad se cumpla; a esos valores se les llama raíces o soluciones.
Estas ecuaciones aparecen por todas partes: el tiro de un balón, el área de un terreno rectangular cuando conoces el perímetro, o el punto de equilibrio de un negocio. Por eso conviene resolverlas rápido y sin errores de signo, que es justo lo que hace esta calculadora dentro de tu navegador, sin enviar ningún dato.
Cómo usar la calculadora
- Escribe el coeficiente a (recuerda: distinto de cero).
- Escribe b y c. Si dejas alguno en blanco se toma como 0.
- Lee al instante las raíces, el discriminante y el vértice de la parábola. No hace falta pulsar “calcular”.
- Pulsa Copiar resultado para llevarte el resumen a tus apuntes.
La fórmula general
Las raíces se obtienen con la fórmula general:
x = (−b ± √D) / 2a, donde D = b² − 4ac
El número D se llama discriminante y decide cuántas raíces hay y de qué tipo, sin necesidad de resolver la ecuación entera. El vértice de la parábola está en x = −b / 2a, y su altura es y = c − b² / 4a.
| Discriminante | Naturaleza de las raíces | Ejemplo |
|---|---|---|
D mayor que 0 | Dos raíces reales distintas | x² − 5x + 6 = 0 |
D igual a 0 | Una raíz real doble | x² + 2x + 1 = 0 |
D menor que 0 | Dos raíces complejas conjugadas | x² + 1 = 0 |
Cuando D es negativo no hay solución en los números reales, pero sí en los complejos: las raíces son parte real ± parte imaginaria · i, donde i es la raíz de −1.
Ejemplo resuelto
Resolvamos x² − 5x + 6 = 0, así que a = 1, b = −5 y c = 6.
- Discriminante: D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
- Como
Des mayor que 0, hay dos raíces reales. - Raíz de D: √1 = 1.
- x₁ = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3.
- x₂ = (5 − 1) / 2 = 4 / 2 = 2.
- Vértice: x = 5 / 2 = 2.5, y = 6 − 25 / 4 = −0.25.
Comprobación: 3 × 2 = 6 (es c) y 3 + 2 = 5 (es −b), tal como predice la relación entre raíces y coeficientes. Un segundo caso rápido: 2x² − 4x − 6 = 0 da D = 16 + 48 = 64, con raíces 3 y −1 y vértice en (1, −8).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si a = 0?
Deja de ser una ecuación cuadrática. Con a = 0 la expresión se convierte en bx + c = 0, una ecuación lineal cuya solución es x = −c / b. La calculadora te avisa y te pide un valor de a distinto de cero.
¿Por qué me salen raíces complejas?
Porque el discriminante es negativo: la parábola no cruza el eje horizontal, así que no hay soluciones reales. Las respuestas se expresan como número ± número · i. Son perfectamente válidas y muy usadas en física e ingeniería.
¿Para qué sirve el discriminante?
Para saber de un vistazo cuántas raíces hay y de qué tipo, sin resolver toda la ecuación. Positivo significa dos raíces reales; cero, una raíz doble; negativo, dos raíces complejas. También indica si la parábola toca, corta o no llega al eje x.
¿Qué representa el vértice?
Es el punto más alto o más bajo de la parábola y = ax² + bx + c. Si a es positivo la parábola abre hacia arriba y el vértice es el mínimo; si a es negativo abre hacia abajo y el vértice es el máximo. Su coordenada x, −b / 2a, es también el eje de simetría.
¿La calculadora redondea?
Sí, muestra hasta 4 decimales para que el número sea legible y evita el molesto “−0”. Internamente calcula con toda la precisión de tu dispositivo, así que puedes fiarte del resultado para tareas y comprobaciones.