Qué es un logaritmo
El logaritmo responde a una pregunta muy concreta: ¿a qué exponente tengo que elevar la base para obtener el número? Si escribimos log_b(x) = y, significa que b elevado a y da x. Por ejemplo, log₁₀(1000) = 3 porque 10³ = 1000. Dicho de otra forma, el logaritmo es la operación inversa de la potencia, igual que restar es lo inverso de sumar.
En la práctica se usan tres logaritmos con nombre propio. El logaritmo decimal o de base 10 (log) aparece en escalas como los decibelios y el pH. El logaritmo natural (ln), de base e ≈ 2.71828, es el rey del cálculo, el interés continuo y el decaimiento. Y el logaritmo en base personalizada, que en informática suele ser base 2 para contar bits o niveles de un árbol. Esta calculadora te muestra los tres a la vez, sin salir de tu navegador.
Cómo usar la calculadora
- Escribe el número (x). Debe ser mayor que 0: el logaritmo no existe para 0 ni para números negativos.
- Si quieres un logaritmo en otra base, escribe la base (b). Debe ser mayor que 0 y distinta de 1.
- Lee al instante
log₁₀(x),ln(x)ylog_b(x). Se actualizan mientras escribes. - Pulsa Copiar resultados para llevarte los tres valores a tus apuntes.
La fórmula y el cambio de base
Los logaritmos decimal y natural se calculan directamente. Para cualquier otra base usamos la fórmula de cambio de base, que permite expresar cualquier logaritmo con los que ya conocemos:
log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)
Da igual si divides dos logaritmos naturales o dos decimales: el resultado es el mismo. La calculadora usa el logaritmo natural internamente. La base tiene que ser distinta de 1 porque ln(1) = 0 y no se puede dividir entre cero.
| Expresión | Significado | Resultado |
|---|---|---|
log₁₀(1000) | 10 elevado a 3 = 1000 | 3 |
ln(e) | e elevado a 1 = e | 1 |
log₂(8) | 2 elevado a 3 = 8 | 3 |
log₅(125) | 5 elevado a 3 = 125 | 3 |
log₁₀(2) | 10 elevado a 0.30103 ≈ 2 | 0.30103 |
Ejemplo resuelto
Calculemos los logaritmos de x = 32 con base personalizada b = 2.
- log₁₀(32): buscamos el exponente de 10 que da 32. Como 32 está entre 10 (10¹) y 100 (10²), el resultado está entre 1 y 2:
log₁₀(32) = 1.50515. - ln(32): el exponente de
eque da 32 es3.46574, porquee³·⁴⁶⁵⁷⁴ ≈ 32. - log₂(32): aquí el resultado es exacto. Como
2⁵ = 32, tenemoslog₂(32) = 5. Con la fórmula de cambio de base:ln(32) / ln(2) = 3.46574 / 0.693147 = 5.
Comprobación rápida: 2 multiplicado por sí mismo cinco veces (2·2·2·2·2) es 32, así que el 5 encaja. Y como 32 es una potencia de 2, su logaritmo en base 2 es un número entero limpio.
Preguntas frecuentes
¿Por qué no puedo calcular el logaritmo de un número negativo o de cero?
Porque no existe ningún exponente real que, aplicado a una base positiva, dé un resultado negativo o cero. 10 elevado a cualquier número siempre da un valor positivo, nunca llega a 0. Por eso la calculadora te pide un x mayor que 0 y te avisa si escribes otra cosa.
¿Qué diferencia hay entre log y ln?
Solo la base. log sin subíndice suele referirse al logaritmo decimal (base 10), muy usado en ingeniería y en escalas físicas. ln es el logaritmo natural, de base e ≈ 2.71828, que aparece de forma natural en el crecimiento continuo, la estadística y el cálculo. Ambos miden lo mismo, solo cambian la unidad de referencia.
¿Para qué sirve la fórmula de cambio de base?
Las calculadoras y los lenguajes de programación solo traen log y ln de fábrica. La fórmula log_b(x) = ln(x) / ln(b) te permite obtener cualquier otra base dividiendo dos logaritmos que sí puedes calcular. Es exactamente lo que hace esta herramienta cuando escribes una base personalizada.
¿Por qué la base no puede ser 1?
Porque 1 elevado a cualquier exponente siempre da 1, nunca otro número, así que log₁(x) no tendría sentido salvo para x = 1. En la fórmula de cambio de base aparecería ln(1) = 0 en el denominador, y dividir entre cero no está permitido. La calculadora te lo indica con un mensaje.
¿Cuántos decimales muestra?
Redondea a 6 cifras significativas para que el número sea legible sin perder precisión útil. Por dentro calcula con toda la precisión de tu dispositivo, de modo que puedes fiarte del valor para tareas, exámenes o comprobaciones rápidas.