Qué es la descomposición en factores primos
Descomponer un número en factores primos significa escribirlo como un producto de números primos: los números mayores que 1 que solo son divisibles entre 1 y ellos mismos (2, 3, 5, 7, 11, 13…). El teorema fundamental de la aritmética garantiza que todo entero mayor que 1 tiene una única descomposición en primos, salvo el orden de los factores. Por eso 360 siempre da 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5, lo escribas como lo escribas.
Cuando un factor se repite, se agrupa con un exponente: 2 x 2 x 2 se escribe como 2^3. Así, la forma compacta de 360 es 2^3 x 3^2 x 5. Esta herramienta te muestra las dos formas —la compacta con exponentes y la lista completa de factores— y además te dice si el número es primo (no se puede descomponer más) o compuesto.
Todo el cálculo se hace en tu navegador: no se envía ningún dato a ningún servidor.
Cómo usar la calculadora
- Escribe un número entero entre 2 y 1 000 000 000 000 (10^12) en el campo.
- Lee la descomposición con exponentes en la tarjeta oscura y, debajo, si el número es primo o compuesto.
- Consulta la lista de factores primos (con repetición), el número total de factores y cuántos factores distintos tiene.
- Pulsa Copiar para llevarte la expresión completa (por ejemplo
360 = 2^3 x 3^2 x 5) al portapapeles.
El resultado se actualiza mientras escribes; no hace falta pulsar ningún botón de “calcular”.
El método: división por tentativa
El algoritmo prueba a dividir el número entre primos crecientes:
- Empieza dividiendo entre 2 tantas veces como se pueda; cada división acertada suma 1 al exponente de 2.
- Sigue con los impares 3, 5, 7, 9… haciendo lo mismo con cada uno.
- Solo hace falta probar divisores hasta la raíz cuadrada del número: si
d x des mayor que lo que queda, ese resto ya es primo. - Si al terminar queda un número mayor que 1, ese resto es el último factor primo.
Probar solo hasta la raíz cuadrada es lo que hace el cálculo rápido: para un número cercano a 10^12 basta con revisar divisores hasta un millón, no un billón.
| Número | Factores primos | Total (con repetición) | Distintos | ¿Primo? |
|---|---|---|---|---|
| 12 | 2^2 x 3 | 3 | 2 | No |
| 84 | 2^2 x 3 x 7 | 4 | 3 | No |
| 100 | 2^2 x 5^2 | 4 | 2 | No |
| 360 | 2^3 x 3^2 x 5 | 6 | 3 | No |
| 1000 | 2^3 x 5^3 | 6 | 2 | No |
| 1024 | 2^10 | 10 | 1 | No |
| 13195 | 5 x 7 x 13 x 29 | 4 | 4 | No |
| 97 | 97 | 1 | 1 | Sí |
Ejemplo resuelto
Descompongamos 360 a mano siguiendo el método:
- 360 ÷ 2 = 180
- 180 ÷ 2 = 90
- 90 ÷ 2 = 45 → el 2 aparece tres veces, es decir 2^3
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5 → el 3 aparece dos veces, es decir 3^2
- 5 ÷ 5 = 1 → el 5 aparece una vez
Reuniendo todo: 360 = 2^3 x 3^2 x 5. La lista con repetición es 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5, seis factores en total y tres primos distintos (2, 3 y 5). Comprobación: 8 x 9 x 5 = 360. Como tiene más de un factor primo, 360 es compuesto, no primo.
Para qué sirve
La descomposición en factores primos es la base de muchos cálculos de secundaria. Con ella puedes hallar el máximo común divisor (multiplicando los primos comunes con su menor exponente) y el mínimo común múltiplo (todos los primos con su mayor exponente), simplificar fracciones, contar divisores o reconocer cuadrados perfectos. También es el fundamento de la criptografía moderna: multiplicar dos primos grandes es fácil, pero deshacer el producto —factorizar— es tan lento que protege tus comunicaciones.
Preguntas frecuentes
¿El 1 es primo?
No. Por convención, el 1 no es primo ni compuesto: no tiene exactamente dos divisores distintos. Por eso la calculadora solo acepta números desde el 2, que es el primer primo y, además, el único primo par.
¿Cómo sé si un número es primo?
Si su descomposición tiene un solo factor con exponente 1 (es decir, el propio número), entonces es primo: no se puede escribir como producto de primos más pequeños. La calculadora te lo indica directamente con el mensaje “es un número primo”.
¿Por qué solo se prueban divisores hasta la raíz cuadrada?
Porque los divisores vienen en parejas: si a x b = n y a es menor o igual que la raíz de n, entonces b es mayor o igual que esa raíz. Al buscar el menor de cada pareja basta con llegar hasta la raíz cuadrada; si no encontraste ningún divisor hasta ahí, el número que queda es primo.
¿Cuál es el número máximo?
El límite es 1 000 000 000 000 (10^12). Con la división por tentativa, factorizar números mayores puede tardar demasiado en un navegador, así que fijamos ahí el tope para que la respuesta sea siempre instantánea.
¿Sirve para números negativos o decimales?
No: los factores primos solo se definen para enteros positivos mayores que 1. Si escribes un decimal, un negativo, el 0 o el 1, la herramienta te lo indica con un mensaje en lugar de dar un resultado incorrecto.