Qué son las combinaciones y las permutaciones
Combinaciones y permutaciones responden a la misma pregunta con un matiz decisivo: de un grupo de n elementos, ¿de cuántas maneras puedes elegir r? La diferencia está en si el orden cuenta. En una combinación el orden no importa: elegir a Ana y luego a Beto es el mismo grupo que elegir a Beto y luego a Ana. En una permutación el orden sí importa: primer y segundo puesto de una carrera no son intercambiables.
El factorial de un número, escrito n!, es el producto de todos los enteros del 1 al n (por ejemplo 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120) y es la pieza con la que se construyen las dos fórmulas. También cuenta de cuántas formas se pueden ordenar los n elementos completos.
Esta calculadora usa BigInt, así que muestra el número entero exacto aunque n sea grande y el resultado tenga muchas cifras, sin el desbordamiento que sufren las calculadoras normales.
Cómo usar la calculadora
- Escribe en n el total de elementos disponibles.
- Escribe en r cuántos vas a elegir. Debe cumplirse que
rno sea mayor quen. - Lee las tres tarjetas: combinaciones, permutaciones y
n!. Se actualizan mientras escribes. - Pulsa Copiar resultados para llevarte los tres números.
Si r es mayor que n o escribes algo que no es un entero, la calculadora te avisa en vez de dar un resultado erróneo.
La fórmula
Las dos fórmulas parten del factorial:
- Combinaciones:
C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!) - Permutaciones:
P(n, r) = n! / (n − r)!
La relación entre ambas es directa: P(n, r) = C(n, r) × r!. Tiene sentido, porque cada combinación de r elementos se puede reordenar de r! maneras distintas, y esas reordenaciones son justamente las que las permutaciones cuentan por separado.
| Aspecto | Combinación | Permutación |
|---|---|---|
| ¿El orden importa? | No | Sí |
| Fórmula | n! / (r!·(n−r)!) | n! / (n−r)! |
| Relación | Siempre menor o igual | P = C × r! |
| Ejemplo típico | Números de lotería, un comité | Podio, contraseña, ranking |
| C(5,2) vs P(5,2) | 10 | 20 |
Ejemplo resuelto
Imagina una lotería 6/49: se sacan 6 números de entre 49 y el orden en que salen es indiferente. Es una combinación:
C(49, 6) = 49! / (6! · 43!) = 13 983 816
Hay casi 14 millones de boletos posibles, así que la probabilidad de acertar los seis con un solo boleto es 1 entre 13 983 816.
Ahora un caso donde el orden sí cuenta: en una carrera con 5 corredores, ¿de cuántas formas se puede formar el podio de oro, plata y bronce? Elegimos 3 y el orden decide la medalla, así que es una permutación:
P(5, 3) = 5! / 2! = 120 / 2 = 60
Y si solo repartes oro y plata entre 5: P(5, 2) = 5! / 3! = 120 / 6 = 20, frente a las C(5, 2) = 10 combinaciones. Justo el doble, porque r! = 2! = 2.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre combinación y permutación?
En una combinación el orden de los elementos elegidos no cambia nada, así que grupos con los mismos miembros se cuentan una sola vez. En una permutación cada orden distinto es un resultado distinto. Por eso P(n, r) siempre es mayor o igual que C(n, r): la permutación cuenta todas las reordenaciones que la combinación agrupa.
¿Por qué el resultado sale exacto con números grandes?
La herramienta calcula con BigInt, un tipo de número que trabaja con enteros de tamaño arbitrario. Las calculadoras que usan decimales de coma flotante pierden precisión pasado cierto tamaño; aquí el factorial y las dos fórmulas se resuelven con enteros, de modo que el número mostrado es el valor exacto, dígito a dígito.
¿Qué pasa si r es mayor que n?
No tiene sentido elegir más elementos de los que existen, así que la calculadora no devuelve un número: muestra un aviso pidiéndote que ajustes los valores. En las fórmulas ese caso daría un factorial de un número negativo, que no está definido.
¿Cuánto vale 0!?
Por convención 0! = 1. Puede parecer raro, pero encaja con las fórmulas: C(n, n) = n! / (n! · 0!) = 1, es decir, solo hay una manera de elegir todos los elementos. Sin ese 0! = 1 el resultado no cuadraría.
¿Sirve para calcular probabilidades?
Sí, es el primer paso. Para la probabilidad de un evento divides los casos favorables entre los casos posibles, y las combinaciones o permutaciones te dan ese total de casos posibles. En la lotería 6/49, por ejemplo, un boleto tiene 1 posibilidad entre 13 983 816.